Hasil Dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050

Tentukan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050 merupakan tipe soal yang sering keluar dalam olimpiade sains nasional. Dalam kesempatan ini, aku akan mencoba share bagaimana cara menuntaskan soal ibarat itu. Namun, cara ini bukan satu-satunya cara. Ini yaitu salah satu alternative cara saja.

Tentukan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050! 

Bila kita lihat, contoh dari bilangan tersebut akan tampak contoh dari bilangan-bilangan tersebut dari penyebutnya. 

• Penyebut bilangan pertama yaitu 1 berasal dari 1*2/2 
• Penyebut bilangan kedua yaitu 3 berasal dari 2*3/2 
• Penyebut bilangan ketiga yaitu 6 berasal dari 3*4/2 
• Demikian seterusnya, sampai penyebut 5050 berasal dari 100*101/2 

Jadi, bilangan 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050 dapat ditulis sebagai berikut!

1/1*2/2 + 1/2*3/2 + 1/3*4/2 + … 1/99*100 + 1/100*101/2 

Bentuk operasi di atas, dapat kita ubah ke dalam bentuk di bawah ini. 

2/1*2 + 2/2*3 + 2/3*4 + …. 2/99*100 + 2/100*101 

Bentuk di atas dapat kita sederhanakan dengan mengeluarkan angka 2 sehingga bentuk operasi akan menjadi ibarat di bawah ini 

2(1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + … + 1/99*100 + 1/100*101) 

Jika kita lihat, 

• 1/1*2 sama risikonya dengan 1/1-1/2, 
• 1/2*3 sama dengan 1/2-1/3, 
• 1/4*5 sama risikonya dengan 1/4-1/5 
• dan seterusnya dampai dengan 1/9-1/100 dan 1/100-1/101. 

Maka operasi tersebut dapat diubah ke dalam bentuk di bawah ini.

2(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/99-1/100+1/100-1/101) 

Bilangan yang berwarna merah akan menghasilkan nilai nol, sehingga operasi tersebut akan menjadi 2(1/1-1/101) 

Dengan menyamakan penyebut, maka operasi tersebut akan menjadi 

2(101-1/101) = 2(100/101) = 200/101 

Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar di bawah ini. 

Demikianlah cara menuntaskan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050. Sekali lagi, ini yaitu salah satu cara alternative. Jika ada yang mempunyai cara lain yang lebih sederhana, mungkin dapat sharing di kolom komentar di bawah.